Nesta tese estudamos equações e sistemas elípticos envolvendo operadores do tipo Kirchhoff dependentes da função-solução e da norma do seu gradiente em L².

Primeiramente, estudaremos um problema do tipo Kirchhoff não homogêneo. Estudaremos um problema auxiliar usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e mostraremos que tem uma única solução fraca e em seguida, abordaremos o problema principal buscaremos a unicidade solução ou múltiplas solução.

Logo em seguida, vamos abordar um problema de autovalor do tipo Kirchhoff. Novamente, estudaremos um problema auxiliar usando o Teorema do ponto fixo de Banach e minimização global para determinar os intervalos para os quais o parâmetro envolvido no problema admite solução trivial, positiva ou negativa.

No capítulo 3 estudaremos um sistema do tipo Kirchhoff que será possível desacoplar em dois problemas e aplicaremos minimização global para mostrar a unicidade de solução fraca em cada problema na seção \ref{sec3.1} e recorreremos o Teorema do ponto fixo de Banach para encontrar a solução do sistema principal e na seção \ref{sec3.2} utilizaremos Teorema do ponto fixo de Banach e o Teorema de Miranda para resolver o sistema principal.

Por fim, no último capítulo estudaremos outros sistemas do tipo Kirchhoff, porém o sistema auxiliar já não admite unicidade de solução, mesmo assim, adquirimos a existência de solução positiva clássica usando o método de bifurcação global e o Teorema de Bolzano.

Neste trabalho, investigamos questões sobre existência de soluções para uma classe de problemas elípticos definidos em um domínio limitado com fronteira suave, cuja dimensão é maior do que 1. Consideramos funções reais positivas de classe C1, satisfazendo hipóteses adequadas e uma dada função f sendo uma potência ou uma função do tipo côncavo-convexa.

Neste trabalho, estudamos dois problemas envolvendo sistemas de equações diferenciais parciais, um com termoviscoelasticidade governada pelo modelo de Fourier e outro pelo modelo de Guyer-Krumhansl. O primeiro problema trata-se de um sistema de ondas termoviscoelásticas acopladas ao modelo de Guyer-Krumhansl. Para esse modelo provamos a boa colocação e o decaimento exponencial uniforme com relação a um determinado parâmetro físico. Em seguida, discretizamos o problema usando o método de diferenças finitas e propomos um esquema numérico híbrido que combina os métodos de integração explícito e implícito.  A convergência da solução numérica é provada utilizando Teorema de Equivalência de Lax. Devido à particularidades do esquema híbrido, um novo esquema numérico (equivalente) na forma matricial é apresentado e a partir dele construímos um algoritmo para plotar a solução numérica. O segundo problema trata-se de um sistema de placas termoviscoelásticas de Mindlin-Timoshenko acoplado ao modelo de Fourier com amortecimento estrutural (Kelvin-Voigt) atuando nas equações dos ângulos de rotação. Para esse modelo provamos a boa colocação, a falta de decaimento exponencial e o decaimento polinomial com taxa ótima.

Nesta tese, estudamos questões relativas a existência e unicidade de soluções obtida por meio da teoria de semigrupos de operadores lineares e comportamento assintótico de soluções.

Inicialmente, analisamos o sistema elástico poroso, onde a condução de calor é dada pelas teorias de Green e Naghdi. Fornecemos uma caracterização explícita sobre a taxa de decaimento que pode ser do tipo exponencial ou polinomial, dependendo de uma relação entre os coeficientes de velocidade de propagação de onda. Para certificar nossos resultados analíticos, fazemos um estudo numérico do nosso modelo dissipativo utilizando o método de Newmark. 

Em seguida investigamos um sistema elástico poroso com “delay”, onde nosso principal resultado é sobre decaimento exponencial de soluções. Este resultado é baseado no método da energia para sistemas dissipativos, onde construímos funcionais lineares equivalentes à energia das soluções. E este decaimento ocorrerá caso obedeça a uma relação entre os coeficientes.

Outra parte desta tese versa sobre o sistema de vigas piezoelétricas com efeito magnético, e mecanismo de transmissão termoelástica. Estabelecemos um resultado de decaimento geral da energia. A fim de comprovar numericamente nossos resultados analíticos, propomos aproximações totalmente discretas, baseadas no método dos elementos finitos na variável espacial e no método de diferenças finitas para discretizar a variável temporal. Finalmente, alguns experimentos numéricos são apresentados para mostrar o comportamento da solução.

Neste trabalho estudamos existência, sinal e comportamento assintótico de soluções para uma classe de problemas elípticos do tipo integro-diferencial sob a presença de um parâmetro. É feita uma análise minuciosa da influência do referido parâmetro sobre a estrutura do conjunto de soluções do problema, considerando diferentes não linearidades. Dentre nossas principais contribuições estão: 1) uma resposta positiva para uma conjectura feita em W. Allegretto-A. Barabanova (veja referência [1]); 2) uma análise detalhada do problema de autovalor associado, utilizando técnicas desenvolvidas nesta tese; 3) O primeiro resultado envolvendo existência de solução ground-state para essa classe de problemas.

Neste trabalho investigamos a dinâmica a longo prazo das soluções de duas classes de problemas. O primeiro diz respeito às equações de Navier-Stokes com uma dissipação fracionária do tipo memória. O segundo diz respeito a uma equação de placa de rede não autônoma. Para o primeiro problema provamos a existência e unicidade de soluções fracas, a existência de atratores globais e estudamos a continuidade dos atratores em relação a um parâmetro que multiplica as forças externas. Para estudar o segundo problema, estabelecemos critérios de existência de seções de kernel para um processo de evolução que possui um semigrupo limite backward. Como consequência deste estudo, obtemos a existência de seções de Kernel não vazias, compactas backward e uniformemente limitadas para o processo de evolução associado a equação de placa de rede. Mais importante, as seções de kernel são atraídas backward pelo global atrator da equação autônoma.

Nesta tese, estudamos questões relacionadas à existência, unicidade e multiplicidade de soluções do tipo ondas estacionárias, para algumas classes de equações de Schrödinger quasilineares. Também estudamos uma classe de sistemas quasilineares do tipo Schrodinger com dependência do gradiente. Estas equações modelam vários fenômenos físicos, por exemplo, em Hidrodinâmica, Ferromagnetismo de Heidelberg, Teoria de Magnus, Teoria da matéria condensada e Mecânica quântica dissipativa. Para obtermos nossos resultados, usamos várias técnicas baseadas nos Métodos variacionais e Método topológico, a saber, Método de minimização global e local, Princípio variacional de Ekeland, Teorema do passo da montanha, argumentos de perturbação combinado com o Método variacional e a Técnica de sub e supersolução, Método de Galerkin e o Teorema do ponto fixo de Brouwer.

Nesta tese consideramos dois problemas termoelásticos distintos. O primeiro trata de um sistema constituído de duas equações da onda conectadas em paralelo e acopladas à equação do calor, governada pela lei de Fourier. O segundo trata de um sistema termoelástico poroso com microtemperatura e sem temperatura, governado pela lei de Lord-Shulman. Para o primeiro problema provamos a boa colocação, o decaimento exponencial do semigrupo e estudamos a sua versão semidiscreta e totalmente discreta usando o método de diferenças finitas. Em diferenças finitas semidiscretas provamos o decaimento exponencial usando o método da energia e no caso totalmente discreto, constatamos o decaimento exponencial através de simulações numéricas que garantem tal comportamento. Já para o segundo problema, provamos a boa colocação, o decaimento exponencial, a falta de decaimento exponencial e o decaimento polinomial do semigrupo dependendo de uma condição entre os coeficientes do sistema.

Nesta tese, estudamos a existência de solução não trivial para a seguinte classe de sistemas do tipo Schrödinger - Poisson - epsilon^2 Delta u + V(x) u+ l(x) phi u = g(u) em R^3  e  - epsilon^2 Delta  phi = l(x) u^2  em R^3, onde, epsilon é um parâmetro real positivo, V, l : R^3 em R são funções mensuráveis e a não linearidade g: R  em R é uma função contínua que pode ter crescimento subcrítico, crítico e supercrítico. Supondo adequadas geometrias sobre o potencial V(x) e assumindo que l é não negativa, pertence a L^2 ou l =1, usamos o Método Variacional para mostrar a existência de solução não trivial e não negativa para este sistema, utilizando ferramentas como o Método de Redução de Benci e Fortunato [12] combinado com adaptações do Método de Penalização de Del Pino e Felmer [23] e o Teorema do Passo da Montanha [37, 4].

O presente trabalho faremos a análise dos sistemas de Uflyand-Mindlin e de suas versões truncadas, para tal na introdução, baseado no artigo de Hache et al, faremos a dedução do modelo clássico e das versões truncadas: Simplificada, Baseada na Inércia de Inclinação e Modelo de Corte. Já no primeiro capítulo faremos a análise espectral destes modelos, concluindo que a formulação clássica apresenta a inconsistência física denominada de "Segundo Espectro" enquanto que suas versões truncadas não apresentam tal inconsistência. O modo encontrado para a formulação clássica se consistente fisicamente é quando considerarmos a inclusão de um damping do tipo atrito nas segunda e terceira equações. Em seguida demonstraremos que as referidas formulações são bem-postas no sentido de terem soluções fortes e fracas únicas através da técnica de Faedo-Galerkin. Por fim, buscaremos as condições para que estes sistemas tenham o decaimento exponencial da energia através do critério de Routh-Hurwitz. Nestes casos, demonstraremos a necessidade da igualdade de velocidades na formulação clássica, enquanto que no modelo denominado Simplificado, nenhuma condição é necessária. Entretanto, nos outros sistemas truncados a técnica não é adequada, pois não há a garantia da positividade de certos valores o que torna estes casos inconclusivos.

Neste trabalho, estuda-se a influência do método de discretização espacial nas propriedades de propagação da energia contida nas soluções de um modelo discreto de evolução. Para tanto, a equação de onda unidimensional é semidiscretizada em malha não uniforme através de uma família parametrizável de métodos de discretização numérica conhecida como esquema-teta, família esta que inclui alguns métodos clássicos como diferenças finitas, elementos finitos padrão e elementos finitos mistos. O sistema discreto resultante é então analisado através de técnicas da Análise Microlocal. O impacto do método de discretização na propagação das ondas é estudado variando o parâmetro do esquema-teta e analisando a alteração resultante na dinâmica do deslocamento da energia das soluções, incluindo o mecanismo que faz com que não haja perda de observabilidade uniforme no modelo discreto quando elementos finitos mistos é utilizado. Simulações numéricas corroboram os resultados teóricos. Adicionalmente, quatro modelos acoplados unidimensionais de vigas planas são estudados através de técnicas semelhantes, obtendo-se resultados satisfatórios.

Usando métodos variacionais, estudamos a existência de solução para o seguinte problema elíptico quasilinear (P), e para o seguinte sistema associado a (P), (S), onde V e W são funções contínuas que pertencem a duas classes de potenciais. No caso escalar, q é uma não linearidade contínua com condição de crescimento subcrítica ou crítica, e no caso do sistema, Q_{u} e Q_{v} denotam derivadas parciais da função Q  de classe C^1 e p−homogênea. 

Neste trabalho, estabeleceremos um método que nos permite encontrar pontos críticos de funcionais diferenciáveis que pertencem a uma classe adequada. A ideia central do que est ́a sendo proposto nesta tese consiste em associar pontos críticos de uma função real de variável real com pontos críticos de um funcional. Como consequência, somos capazes de resolver alguns problemas de equações diferenciais parciais, cujo funcional energia associado pertence à referida classe. Em um primeiro momento, com o objetivo de evidenciar vantagens e desvantagens do método que estabelecemos, resolveremos alguns problemas clássicos, comparando os resultados do nosso método com métodos que são comumente utilizados para solucionar esses problemas. Faremos isso no Capítulo 1. Posteriormente, também utilizaremos esse método para obter dois teoremas de existência, sendo um deles uma versão de um teorema de minimização local e o outro uma versão do Teorema do Passo da Montanha adequada para problemas que não exigem a condição de crescimento de Ambrosetti e Rabinowitz. Esses resultados serão usados para complementar o trabalho de Mawhin, Ward e Willem (ver [21]) no Capítulo 2, o trabalho de Miyagaki e Souto (ver [22]) no Capítulo 3 e o trabalho de Azzollini e Pomponio (ver [8]) no Capítulo 4.

Este trabalho é o estudo de algumas classes de problemas elípticos quasilineares com operador p-laplaciano envolvendo funções peso que podem mudar de sinal e crescimento crítico, estando dividido em duas partes. Na primeira parte, estudamos um sistema cuja primeira equação apresenta uma não-linearidade subnatural e a segunda, uma não-linearidade natural. Nas condições impostas, obtemos existência e multiplicidade de soluções não-negativas nos níveis subcrítico e crítico utilizando técnicas variacionais tais como Teorema do Passo da Montanha, Princípio Variacional de Ekeland, resultados de regularidade e Princípio de Máximo. Na segunda parte do trabalho, usamos um método de minimização em conjuntos relacionados à variedade de Nehari para provar a existência de solução que muda de sinal para um problema escalar com crescimento crítico.

Neste trabalho mostramos a existência, unicidade e o comportamento assintótico de soluções para um sistema formado por equações que modelam vigas piezoelétricas com efeito magnético e mecanismos de amortecimento linear e não linear, para analisar os resultados citados, usaremos as teorias de semigrupo linear, não linear e quase-
estabilidade, associados a cada sistema.

Nesta tese, consideramos um sistema acoplado de equações diferenciais parciais de segunda ordem, que modela problemas associados à teoria unidimensional de dilatação de solos elásticos porosos com saturação de fluido. Introduzimos diferentes mecanismos dissipativos com o objetivo de estudarmos o comportamento qualitativo das soluções do sistema com relação à boa colocação e à dinâmica de estabilização. Em particular, para um dos casos estudados, onde a dissipação atua somente na equação do deslocamento do material sólido elástico, analisamos o problema totalmente discreto usando o método explícito de diferenças finitas e fornecemos as simulações da solução numérica e da energia discreta.

Nesta tese, consideramos os sistemas que modelam as vibrações em estruturas, conhecidos como sistemas do tipo Timoshenko-Ehrenfest. Precisamente, provamos resultados de estabilidade para o chamado sistema de Timoshenko-Ehrenfest Truncado (ou versão Simplificada das equações de Timoshenko-Ehrenfest segundo contribuições de Elishakoff et al.  Advances in Mathematical Modeling and Experimental Methods for Materials and Structures, Solid Mechanics and Its Applications. Springer, Berlim, 249-254. 2010; ASME - The American Society of Mechanical Engineers - Applied Mechanics Reviews. 67(6), 1-11. 2015; International Journal of Solids and Structures. 109, 143-151. 2017), este sistema está livre do denominado fenômeno do ``segundo espectro" que aparece na análise de dispersão do sistema Clássico de Timoshenko-Ehrenfest desenvolvido no ano de 1921. Neste contexto, afirmamos que o segundo espectro de frequências tem consequências importantes no cenário de estabilização exponencial de sistemas de equações acopladas. Para verificarmos isto, colocamos termos de amortecimentos na equação do deslocamento vertical do sistema Timoshenko-Ehrenfest Truncado e mostramos que é possível obtermos a estabilização exponencial da energia definida para o sistema, independentemente de qualquer relação entre os seus coeficientes, ao contrário do que acontece com o sistema de Timoshenko-Ehrenfest Clássico, onde para todos os casos estudados em que é possível obter estabilidade exponencial, sempre necessitamos de uma relação entre coeficientes, mais precisamente, as velocidades de ondas iguais.

Neste trabalho, apresentamos resultados de existência e multiplicidade de soluções para uma classe de problemas elípticos, não locais, não homogêneos com condição de fronteira de Neumann e com dois expoentes críticos. Usando versões do Princípio de Concentração e Compacidade de Lions, estendidos aos espaços com expoentes variáveis, foi possível contornar a falta de compacidade devido à criticalidade dos expoentes. No primeiro problema, aplicamos um argumento de truncamento e a teoria do gênero para mostrar que este possui infinitas soluções. No segundo problema, usamos o Teorema do Passo da Montanha e provamos a existência de solução para uma versão do problema onde a equação possui um coeficiente singular. No terceiro problema, consideramos a não linearidade descontínua tanto no domínio quanto na fronteira e, usando a teoria dos funcionais localmente Lipschitz e uma versão do Teorema do Passo da Montanha para estes funcionais, mostramos existência de solução para o problema.

Neste trabalho estudaremos existência e concentração de soluções para diferentes classes de problemas elípticos com caráter não local. Consideraremos três problemas distintos: no primeiro, via argumentos de truncamento, exibiremos existência e concentração de soluções para uma equação elíptica fracionária de Kirchhoff-Schrödinger com crescimento crítico e subcrítico; no segundo estudaremos uma classe de sistemas hamiltonianos envolvendo o laplaciano fracionário e com não linearidade tendo um crescimento exponencial; já no terceiro problema usaremos um método de aproximação de Galerkin para mostrar a existência de solução para um sistema hamiltoniano com o operador laplaciano e  não linearidades do tipo Choquard.    

Neste trabalho investigamos questões sobre existência e multiplicidade de soluções ground state para uma classe de problemas elípticos semilinear onde a não linearidade f é do tipo assintoticamente linear. Essa classe de problemas pode ser dividida em dois casos: ressonante e não ressonante.

O caso ressonante pode ser subdividido em diferentes “graus” de ressonância, ressonância forte e não forte. Nossas hipóteses sobre f nos permitirão lidar de uma só vez com o caso não-ressonante, os casos ressonantes fortes e não-fortes.

No presente trabalho, iremos estudar questões acercar dos aspectos quantitativos, existência, unicidade e dependência contínua das soluções e qualitativos, tais como, controlabilidade  nula,  controlabilidade  nula  tipo-memória  e  estabilização  assintótica  para  o sistema de Timoshenko sob a influência do segundo espectro de frequência.  Serão abordados problemas lineares e não lineares.

Neste trabalho, estudamos existência e multiplicidade de soluções fracas positivas para uma classe de sistemas elípticos envolvendo o expoente crítico de Sobolev e uma não linearidade com crescimento crítico com pesos indefinidos em um domínio ilimitado. A fim de mostrar a existência de soluções usaremos o Teorema do Passo da Montanha e para multiplicidade utilizaremos minimização sobre subconjuntos da variedade de Nehari. Estudamos também, multiplicidade de m pares de soluções para uma equação crítica envolvendo o expoente crítico de Sobolev em domínio ilimitado com pesos indefinidos. Neste caso, fazemos uso de uma versão do Teorema do Passo da Montanha com simetria assumindo que o parâmetro acoplado a parte crítica é suficientemente pequeno.

Neste trabalho, investigaremos condições gerais sobre uma função geral dada, de modo que uma classe de problemas generalizado de Schrödinger com não linearidade do tipo potência ou uma função mais geral que uma soma de potências do tipo côncavo-convexa, possua solução não trivial. 

Neste trabalho estudamos o comportamento assintótico de soluções das equações de fluido Oldroyd e de uma equação unidimensional de mistura de sólidos com damping não linear usando teoria de sistemas dinâmicos não autônomos e estocásticos em espaços de dimensão infinita. Mais precisamente, mostramos a existência de um atrator pullback (com universo de atração não autônomo) para uma equação não autônoma de fluido Oldroyd e apresentamos uma estimativa para a dimensão fractal do atrator. Consideramos também a equação de fluido Oldroyd estocástica onde a função força externa é perturbada por ruído aleatório branco aditivo. Mostramos a existência de um atrator D-pullback aleatório para o sistema correspondente. Para a equação de mistura de sólidos, mostramos a existência de atrator D-pullback e apresentamos também um resultado de semicontinuidade do atrator pullback quando consideramos as forças externas como perturbações não autônomas.

Neste trabalho provamos alguns resultados de existência de solução positiva para uma equação de Schrodinger envolvendo o Laplaciano fracionário. Consideraremos dois casos: no primeiro caso consideramos um domínio não limitado e a não linearidade do tipo potência pura com crescimento crítico; no segundo caso consideramos um domínio não limitado com fronteira não vazia limitada e a não linearidade do tipo potência pura com crescimento subcrítico. A fim de obter nossos resultados usamos métodos variacionais combinados com argumentos topológicos.

Neste trabalho, estudaremos existência e multiplicidade de soluções fracas positivas para a seguinte classe de problemas anisotrópicos e estudaremos uma classe de sistema anisotrópico.

Neste trabalho, usamos algumas técnicas de Análise Funcional Não-linear para estudar a existência e multiplicidade de soluções positivas para a seguinte classe de problemas do tipo p&q-Laplaciano

 -div(a(|\nabla u|^{p})|\nabla u|^{p-2}\nabla u)= f(u) em \Omega,

u >0 em \Omega,

u=0 sobre \partial\Omega,

onde \Omega é um domínio limitado em \mathds{R}^{N}, 2 \leq p < N. As hipóteses sobre a função a:\mathds{R}^{+}\rightarrow \mathds{R}^{+} de classe C^1 nos permitem estender nossos resultados para uma grande classe de problemas e a função f satisfaz certas condições a serem descritas em cada capítulo.

           Nesta tese, estudamos questões relativas a existência e unicidade de soluções obtida por meio da teoria de semigrupos de operadores lineares e comportamento assintótico de soluções.

           Inicialmente, estudamos o sistema elástico poroso com “delay”, onde nosso principal resultado é sobre o decaimento exponencial de soluções.  Este resultado é baseado no método da energia para sistemas dissipativos, onde construímos funcionais lineares equivalentes à energia das soluções. E este decaimento ocorrerá caso obedeça a uma relação entre os coeficientesJ.

           Em seguida investigamos um sistema termoelástico poroso onde a condução de calor á dada pela lei de Coleman-Gurtin. Mostramos que o sistema é exponencialmente ou polinomialmente estável, dependendo de uma relação entre os coeficientes de velocidade de propagação da onda.

           Outra parte desta tese versa sobre o sistema de Mindlin-Timoshenko. Mostramos que dois mecanismos dissipativos, um do tipo atrito e outro do tipo kelvin-Voigt que atuam nas equações dos ângulos de rotação não são suficientes fortes para fazer as soluções decaírem exponencialmente independente de qualquer relação. Além disso, provamos que o nosso modelo apresenta estabilidade polinomial sem nenhuma relação entre os coeficientes 𝑘, , , ,  isto é,  o operador resolvente não é uniformemente limitado ao longo do eixo imaginário. No entanto, ele decai polinomialmente com taxa ótima.

          Para certificar nossos resultados analíticos, fazemos um estudo numérico do nosso modelo dissipativo utilizando o método de diferenças finitas.

Nesta tese, será estudada a controlabilidade exata interna, estabilização e análise de dispersão para um sistema poro-elástico unidimensional. A controlabilidade exata será abordada pelo método HUM (Hilbert Uniqueness Method), enquanto que a estabilidade exponencial será considerada para dois tipos de sistemas poro-elásticos. Para o primeiro sistema, será estabelecida a propriedade do crescimento determinado pelo espectro (PCDE), já para o segundo sistema, será demonstrado somente a estabilização exponencial através da teoria de estabilização de semigrupos.

Neste trabalho, estudamos resultados de existência de solução positiva e de solução nodal para uma classe de problemas elípticos em um domínio limitado R^N com  N ≥ 3 e 1 < p < N. As hipóteses sobre a função  nos permitem estender o nosso resultado para uma grande classe de problemas e a função  possui crescimento crítico exponencial. As principais ferramentas utilizadas são MétodosVariacionais, Lema de Deformação e Desigualdade de Trundinger-Moser.

Neste trabalho, estudaremos dois sistemas elípticos não-locais que surgem a partir do estudo da dinâmica populacional de determinadas espécies com características específicas. Usaremos métodos de Análise Funcional Não-Linear para encontrar estados de coexistência para estes sistemas. Mais precisamente, utilizaremos o Método de Bifurcação Bi-Paramétrica, a Teoria do Índice de Ponto Fixo sobre cones positivos e teoremas de ponto fixo. O uso desses métodos requer primeiramente um estudo de problemas não-locais, os quais resolveremos estabelecendo um Método de Sub-Super Solução e usando Teoria de Bifurcação. Além disso, para provar este Método de Sub-Super Solução, precisaremos estudar problemas não-locais de autovalor, os quais geralmente não são auto-adjuntos e, portanto, aplicaremos o Teorema de Krein-Rutman para resolvê-los. Finalmente, estudaremos as propriedades das soluções obtidas para estes sistemas, interpretando os seus significados para os respectivos modelos.

Neste trabalho estudaremos alguns problemas elípticos com difusão não linear provenientes de modelos em Dinâmica de Populações. Primeiro analisaremos uma equação logística. Provaremos resultados de existência, não existência, unicidade e multiplicidade de soluções positivas. Além disso iremos obter algumas propriedades qualitativas das soluções obtidas com respeito à certos parâmetros da equação. Para provar tais resultados utilizaremos Teoria de Bifurcação, Métodos de Sub e Supersolução, Métodos Variacionais e Propriedades do Autovalor Principal. Neste estudo também será necessário considerar um problema elíptico com singularidade na fronteira. Em seguida vamos estudar uma certa classe de sistemas de equações elípticas quasilineares e fortemente acoplados. Vamos obter um teorema de bifurcação unilateral e aplicá-lo a dois sistemas particulares para obter condições que garantem existência e não existência de soluções com componentes positivas e não nulas. Na medida do possível, os resultados obtidos ao longo deste trabalho serão interpretados no contexto da Dinâmica de Populações.

Neste trabalho estudamos a dinâmica assintótica  de algumas EDPs por meio de sistemas dinâmicos deterministas, não autônomos e estócasticos, mais especificamente, estudamos o atrator global para o sistema dinâmico gerado pelo fluxo bidimensional de um fluido  micropolar não-Newtoniano, em seguida, estudamos o sistema dinâmico não autônomo dado por uma equação hiperbólica  singularmente perturbada, provamos a continuidade  de atratores pullback, uniforme e cociclo, também estudamos atratores cociclo para sistemas dinâmicos aleatórios não autônomos (SDAN) com universos de atração autônomos, estabelecemos resultados teóricos e aplicamos às equações estocásticas de Navier-Stokes  2D com ruído branco aditivo escalar e força externa não autônoma de translação limitada, finalmente, introduzimos as noções de flattening e  contração para SDAN,  mostramos que a propriedade de contração generalizada implica um resultado de modos determinantes e dimensão fractal finita de atratores cociclo aleatórios, aplicamos esta análise teórica às equações estócasticas de Navier-Stokes 2D.

Neste trabalho, estudamos a existência de solução positiva para um problema elíptico não local envolvendo o espaço generalizado de Lebesgue em um domínio limitado de Rn e um sistema associado a ele.

Para este estudo, usamos técnicas de truncamento, sub e super solução e teorema de ponto fixo.

Também estudamos a existência de solução positiva para um problema com não linearidade descontínua. Para este estudo usamos a teoria dos funcionais localmente Lipschitziano, o Teorema do Passo da Montanha para funcionais que são somente localmente Lipschtizianos e uma adaptação do método de penalização de del Pino e Felmer.

No presente trabalho, mostramos que existe um número que caracteriza a estabilização do sistema duplo nanotubo- Timoshenko. Introduzimos ao modelo dissipações do tipo atrito atuando nos declives dos tubos e no deslocamento lateral do tubo externo. Identificamos que o sistema de vigas de Timoshenko associado ao nanotubo de parede dupla possui as duas velocidades características do sistema clássico de Timoshenko     v1^2: = ρ2/b1 e v2^2: = ρ1/k1.  Sendo assim, mostramos que o sistema é exponencialmente estável se, e somente se,

ρ2/b1= ρ1/k1     e      k1^2- C k1 b1 (ρ2/b1- ρ1/k1 )  = k1/b1 ≠ 0.

Caso contrário, provamos que o modelo é polinomialmente estável com taxa ótima de decaimento. Para certificar nossos resultados analíticos realizamos um estudo numérico do sistema dissipativo utilizando o modelo totalmente discreto em diferenças finitas.  Paralelamente, estudamos a estabilidade assintótica de soluções para um sistema de evolução elástico poroso com dissipações localizadas não lineares atuando sobre o deslocamento e a fração de volume. Com ajuda do método introduzido por Daloutti e algumas novas observações, provamos a estabilidade assintótica.

Neste trabalho, analisamos dois sistemas de equações diferenciais de ondas acopladas, sob o ponto de vista da existência e unicidade. Quanto a estabilização, no primeiro mostramos a perda de decaimento exponencial e consequente estabilidade polinomial com taxa ótima. Também será feita análise numérica, via discretização total, para o primeiro sistema. Quanto ao segundo, mostramos ainda a estabilização exponencial.

Neste trabalho estudamos a primeira e a segunda variação da medida de subvariedades não-horizontais em grupos de Lie estratificados introduzida por Magnani e Vittone no artigo “An intrisic measure for submanifolds in stratifieds groups” e definimos um conceito de minimalidade para estas subvariedades. Em um grupo de Lie estratificado G introduzimos uma derivada covariante que anula os campos invariantes à esquerda da álgebra de Lie de G. Uma subvariedade M de G é não-horizontal de codimensão p se TM+D=TG, em que D é a distribuição horizontal gerada pelo subespaço horizontal da álgebra de Lie de G. O espaço normal horizontal é o complementar ortogonal a TM e D em D e o volume da subvariedade M é calculado pela contração da forma volume de G por uma p-forma unitária do espaço normal horizontal. A condição de minimalidade obtida pela primeira variação é o tensor H+σ=0, em que H é a curvatura média e σ é a média da torção. Na segunda variação, além dos termos comuns da geometria riemanniana, aparecem vários termos novos oriundos da torção. Generalizamos alguns resultados da geometria das subvariedades euclidianas para grupos de Lie estratificados e discutimos exemplos de subvariedades não-horizontais mínimas no grupo de Heisenberg e sua estabilidade.

Estabilidade Assintótica e Numérica de Sistemas Fracamente Dissipativos de Mindlin - Timoshenko